Teorema de Euclides referido a un cateto

“En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”

Demostración:

Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):

donde

DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)

AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)

c = p + q

Por semejanza (~) de triángulos, el   ΔACB ~  ΔCDB (son semejantes)

Luego;

Que es lo mismo que:

De forma análoga se tiene queΔACB  ~  ΔADC (a la derecha) ,

entonces

Que es lo mismo que:

Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguiente forma:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.

Por lo tanto,

                                                                     haz click aqui para el video